数列的教案
在教学工作者开展教学活动前，编写教案是必不可少的，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。如何把教案做到重点突出呢？下面是小编帮大家整理的数列的教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
数列的教案1
教学内容：
人教版小学数学教材六年级下册第107～108页例2及相关练习。
教学目标：
1．在学习过程中引导学生探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。
2．让学生经历猜想与验证的过程，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。
重点难点：
探索数与形之间的联系，寻找规律，并利用图形来解决有关数的问题。
教学准备：
教学课件。
教学过程：
一、直接导入，揭示课题
同学们，上节课我们探究了图形中隐藏的数的规律，今天我们继续研究有关数与图形之间的联系。（板书课题：数与形）
【设计意图】直奔主题，简洁明了，有利于学生清楚本节课学习的内容和方向。
二、探索发现，学习新知
（一）教师与学生比赛算题
1．教师：你知道等于多少吗？（学生：）
教师：那等于多少呢？（学生计算需要时间）教师紧接着说：我已经算好了，是，不信你算算。
2．只要按照这个分子是1，分母依次扩大2倍的规律写下去，不管有多少个分数相加，我都能立马算出结果。有的同学不相信是吗？咱们试试就知道。为了方便，我请我们班计算最快的同学跟我一起算，看看结果是否相同。谁来出题？
在学生出题后，老师都能立刻算出结果，并且是正确的，学生感到很惊奇。
3．知道我为什么算得那么快吗？因为我有一件神秘的法宝，你们也想知道吗？
【设计意图】一方面，教师通过与学生比赛计算速度，且每次老师胜利，使学生产生好奇心，再通过教师幽默的语言，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣和求知欲。另一方面，为接下来学习例题做好铺垫。
（二）借助正方形探究计算方法
1．这件法宝就是（师边说边课件出示一个正方形），让我们来把它变一变，聪明的同学们一定能看明白是怎么回事了。
2．进行演示讲解。
（1）演示：用一个正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的（涂红），再剩下部分的一半就是正方形的（涂黄）。
想一想：正方形中表示的涂色部分与空白部分和整个正方形之间有什么关系呢？（涂色部分等于“1”减去空白部分）空白部分占正方形的几分之几？（）那么涂色部分还可以怎么算呢？（），也就是说。
（2）继续演示，谁知道除了通分，还可以怎么算？
根据学生回答，板书。
（3）演示：那么计算就可以得到？（）。
3．看到这儿，你发现什么规律了吗？
4．小结：按照这样的规律往下加，不管加到几分之一，只要用1减去这个几分之一就可以得到答案了。
5．这个法宝怎么样？谁来说说它好在哪里？你学会了吗？
6．尝试练习
【设计意图】将复杂的数量运算转化为简单的图形面积计算，转繁为简，转难为易，引导学生探索数与图形的联系，让学生体会到数形结合、归纳推理的数学思想方法。
（三）知识提升，探索发现
1．感受极限。
（1）刚才我们已经从一直加到了，如果我继续加，加到，得数等于？（）再接着加，一直加到，得数等于？（）随着不断继续加，你发现得数越来越？（大）无数个这样的数相加，和会是多少呢？
（2）这时候你心中有没有一个大胆的猜想？（学生猜想：这样一直加下去，得数会不会就等于1了。）
（3）想象一下，如果我们在刚才加的.过程中在正方形上不断涂色，那空白部分的面积就越来越？（小）而涂色部分的面积越来越接近？（1）也就是求和的得数越来越接近？（1）最终得数是1吗？你有什么方法来证明得数就是1？
（学情预设：学生提出书本的圆形图和线段图，若没有学生提出，教师自己提出。）
2．利用线段图直观感受相加之和等于“1”。
（1）书本上有两幅图，我们一起来看看（课件出示）。一幅是圆形图，一幅是线段图，你能看懂它的意思吗？请你想一想，然后告诉大家你的想法。
（2）学生看书思考。
（3）全班交流，课件演示，得出结论：这些分数不断加下去，总和就是1。
【设计意图】利用数与形的结合，让学生直观体会极限数学思想，并让学生经历猜想得数等于“1”，到数形结合证明得数等于“1”的过程，激发学生学习兴趣，培养学生探索新知的精神。
3．课堂小结。
对于这种借用图形来帮助我们解决问题的方法，你有什么感受？
教师小结：是的，“数”与“形”有着紧密的联系，在一定条件下可以相互转化。当用数形结合的方法解决问题时，你会发现许多难题的解决变得很简单。
4．举一反三。
其实在以前的学习中，我们也常用到到数形结合的数学方法帮助我们解题，你能想到些例子吗？（如学生有困难，教师举例：一年级加法，分数的认识，复杂的路程问题线段图等。）
数列的教案2
教学目标
1。使学生理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
（1）理解数列是按一定顺序排成的一列数，其每一项是由其项数唯一确定的。
（2）了解数列的各种表示方法，理解通项公式是数列第项与项数的关系式，能根据通项公式写出数列的前几项，并能根据给出的一个数列的前几项写出该数列的一个通项公式。
（3）已知一个数列的递推公式及前若干项，便确定了数列，能用代入法写出数列的前几项。
2。通过对一列数的`观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力。
3。通过由求的过程，培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。
教学建议
（1）为激发学生学习数列的兴趣，体会数列知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中抽象出数列要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还有物品堆放个数的计算等。
（2）数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系。在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列。函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法。由于数列的自变量为正整数，于是就有可能相邻的两项（或几项）有关系，从而数列就有其特殊的表示法——递推公式法。
（3）由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，教师应精心设计例题，使这一例题为写通项公式作一些准备，尤其是对程度差的学生，应多举几个例子，让学生观察归纳通项公式与各项的结构关系，尽量为写通项公式提供帮助。
（4）由数列的前几项写出数列的一个通项公式使学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项中的结构特征（整式，分式，递增，递减，摆动等），由学生归纳一些规律性的结论，如正负相间用来调整等。如果学生一时不能写出通项公式，可让学生依据前几项的规律，猜想该数列的下一项或下几项的值，以便寻求项与项数的关系。
（5）对每个数列都有求和问题，所以在本节课应补充数列前项和的概念，用表示的问题是重点问题，可先提出一个具体问题让学生分析与的关系，再由特殊到一般，研究其一般规律，并给出严格的推理证明（强调的表达式是分段的）；之后再到特殊问题的解决，举例时要兼顾结果可合并及不可合并的情况。
（6）给出一些简单数列的通项公式，可以求其最大项或最小项，又是函数思想与方法的体现，对程度好的学生应提出这一问题，学生运用函数知识是可以解决的。
数列的教案3
教学准备
教学目标
熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。
教学重难点
熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。
教学过程
【复习要求】熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。
【方法规律】应用数列知识界实际应用问题的关键是通过对实际问题的综合分析，确定其数学模型是等差数列，还是等比数列，并确定其首项，公差或公比等基本元素，然后设计合理的计算方案，即数学建模是解答数列应用题的关键。
一、基础训练
1、某种细菌在培养过程中，每20分钟*一次一个*为两个，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成
A、511B、512C、1023D、1024
2、若一工厂的生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为
A、B、
C、D、
二、典型例题
例1：某人每期期初到银行存入一定金额A，每期利率为p，到第n期共有本金nA，第一期的利息是nAp，第二期的利息是n—1Ap……，第n期即最后一期的利息是Ap，问到第n期期末的本金和是多少？
评析：此例来自一种常见的存款叫做零存整取。存款的方式为每月的某日存入一定的金额，这是零存，一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取。计算本利和就是本例所用的有穷等差数列求和的方法。用实际问题列出就是：本利和=每期存入的金额[存期+1/2存期存期+1利率]
例2：某人从1999到20xx年间，每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若每年利率q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期，到20xx年6月1日，此人到银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是多少元？
例3、某地区位于沙漠边缘，人与自然进行长期顽强的`斗争，到1999年底全地区的绿化率已达到30%，从20xx年开始，每年将出现以下的变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠。问经过多少年的努力才能使全县的绿洲面积超过60%。lg2=0.3
例4、流行性感冒简称流感是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月分曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染着减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新的患者人数最多？并求这一天的新患者人数。
数列的教案4
教学目的：
⒈理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系.
⒉了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项
⒊对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式
教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用，前n 项和与an的关系
教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
教学过程：
一、复习引入：（第1页）
观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义）
上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序.
从而引出数列及有关定义
二、讲解新： 数列的相关概念（第2页）
例如，上述例子均是数列，其中①中，“1”是这个数列的第1项（或首项），“ ”是这个数列中的第4项.
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，3是这个数列的第“3”项，等等。
下面我们再看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的.定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列○5，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
序号 1 2 3 4 5
项
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式： 表示其对应关系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项
结合上述其他例子，练习找其对应关系
如：数列①： ；
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列○3；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是 ，也可以是 .
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
（第3页）
数列的通项公式就是相应函数的解析式.
例题：
四、堂练习：五、后作业： （第5页）
数列的教案5
教学目标
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.
（1）正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念；
（2）正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项；
（3）通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题.
2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.
3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.
教学建议
教材分析
（1）知识结构
等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用.
（2）重点、难点分析
教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.
①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点.
②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉；在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力；第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点.
③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.
教学建议
（1）建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用.
（2）等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义.
（3）根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.
（4）对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的.图象.
（5）由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现.
（6）可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用.
教学设计示例
课题：等比数列的概念
教学目标
1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.
2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.
3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.
教学重点，难点
重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.
教学用具
投影仪，多媒体软件，电脑.
教学方法
讨论、谈话法.
教学过程
一、提出问题
给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.（幻灯片）
①－2，1，4，7，10，13，16，19，…
②8，16，32，64，128，256，…
③1，1，1，1，1，1，1，…
④243，81，27，9，3，1， ， ，…
⑤31，29，27，25，23，21，19，…
⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…
⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…
⑧0，0，0，0，0，0，0，…
由学生发表意见（可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类），统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列（学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列）.
二、讲解新课
请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——等比数列. （这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步）
等比数列（板书）
1.等比数列的定义（板书）
根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系，尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义，标注出重点词语.
请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如 的数列都满足既是等差又是等比数列，让学生讨论后得出结论：当 时，数列 既是等差又是等比数列，当 时，它只是等差数列，而不是等比数列.教师追问理由，引出对等比数列的认识：
2.对定义的认识（板书）
（1）等比数列的首项不为0；
（2）等比数列的每一项都不为0，即 ；
问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？
（3）公比不为0.
用数学式子表示等比数列的定义.
是等比数列 ①.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成 ，可让学生研究行不行，好不好；接下来再问，能否改写为 是等比数列 ？为什么不能？
式子 给出了数列第 项与第 项的数量关系，但能否确定一个等比数列？（不能）确定一个等比数列需要几个条件？当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值？所以要研究通项公式.
3.等比数列的通项公式（板书）
问题：用 和 表示第 项 .
①不完全归纳法
②叠乘法
，… ， ，这 个式子相乘得 ，所以 .
（板书）（1）等比数列的通项公式
得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式.
（板书）（2）对公式的认识
由学生来说，最后归结：
①函数观点；
②方程思想（因在等差数列中已有认识，此处再复习巩固而已）.
这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用，请学生举例（应能编出四类问题）.解题格式是什么？（不仅要会解题，还要注意规范表述的训练）
如果增加一个条件，就多知道了一个量，这是公式的更高层次的应用，下节课再研究.同学可以试着编几道题.
三、小结
1.本节课研究了等比数列的概念，得到了通项公式；
2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比；
3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用.
数列的教案6
一、概述
教材内容:等比数列的概念和通项公式的推导及简单应用 教材难点：灵活应用等比数列及通项公式解决一般问题 教材重点：等比数列的概念和通项公式
二、教学目标分析
1. 知识目标
1）
2） 掌握等比数列的定义 理解等比数列的通项公式及其推导
2．能力目标
1）学会通过实例归纳概念
2）通过学习等比数列的通项公式及其推导学会归纳假设
3）提高数学建模的能力
3、情感目标：
1）充分感受数列是反映现实生活的模型
2）体会数学是来源于现实生活并应用于现实生活
3）数学是丰富多彩的.而不是枯燥无味的
三、教学对象及学习需要分析
1、 教学对象分析：
1）高中生已经有一定的学习能力，对各方面的知识有一定的基础，理解能力较强。并掌握了函数及个别特殊函数的性质及图像，如指数函数。之前也刚学习了等差数列，在学习这一章节时可联系以前所学的进行引导教学。
2）对归纳假设较弱，应加强这方面教学
2、学习需要分析：
四. 教学策略选择与设计
1.课前复习
1）复习等差数列的概念及通向公式
2）复习指数函数及其图像和性质
2．情景导入
数列的教案7
教学目标：
1.知识与技能目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握并会用等差数列的通项公式，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。
2.过程与方法目标：培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力;在领会函数与数列关系的前提下，渗透函数、方程的思想。
3.情感态度与价值观目标：通过对等差数列的研究培养学生主动探索、勇于发现的求知的精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
教学重点：
等差数列的概念及通项公式。
教学难点：
(1)理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
(2)等差数列的通项公式的推导过程及应用。
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.回忆上一节课学习数列的定义，请举出一个具体的例子。表示数列有哪几种方法——列举法、通项公式、递推公式。我们这节课接着学习一类特殊的数列——等差数列。
2.由生活中具体的数列实例引入
(1).国际奥运会早期，撑杆跳高的记录近似的由下表给出：
你能看出这4次撑杆条跳世界记录组成的数列，它的各项之间有什么关系吗?
(2)某剧场前10排的座位数分别是：
48、46、44、42、40、38、36、34、32、30
引导学生观察：数列①、②有何规律?
引导学生发现这些数字相邻两个数字的差总是一个常数，数列①先左到右相差0.2，数列②从左到右相差-2。
二.新课探究，推导公式
1.等差数列的概念
如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。
强调以下几点：
① “从第二项起”满足条件;
②公差d一定是由后项减前项所得;
③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(强调“同一个常数” );
所以上面的2、3都是等差数列，他们的公差分别为0.20，-2。
在学生对等差数列有了直观认识的基础上，我将给出练习题，以巩固知识的学习。
[练习一]判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是?如果是，写出首项a1和公差d，如果不是，说明理由。
1.3，5，7，…… √ d=2
2.9，6，3，0，-3，…… √ d=-3
3. 0，0，0，0，0，0，…….; √ d=0
4. 1，2，3，2，3，4，……;×
5. 1，0，1，0，1，……×
在这个过程中我将采用边引导边提问的`方法，以充分调动学生学习的积极性。
2.等差数列通项公式
如果等差数列{an｝首项是a1，公差是d，那么根据等差数列的定义可得：
a2 - a1 =d即：a2 =a1 +d
a3 – a2 =d即：a3 =a2 +d = a1 +2d
a4 – a3 =d即：a4 =a3 +d = a1 +3d
……
猜想: a40 = a1 +39d
进而归纳出等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d
此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法：
n=a1+(n-1)d
a2-a1=d
a3-a2=d
a4-a3 =d
……
an –a(n-1) =d
将这(n-1)个等式左右两边分别相加，就可以得到
an-a1=(n-1)d
即an=a1+(n-1)d (Ⅰ)
当n=1时，(Ⅰ)也成立，所以对一切n∈N﹡，上面的公式(Ⅰ)都成立，因此它就是等差数列{an｝的通项公式。
三.应用举例
例1求等差数列，12，8，4，0，…的第10项;20项;第30项;
例2 -401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项?如果是，是第几项?
四.反馈练习
1.P293练习A组第1题和第2题(要求学生在规定时间内做完上述题目，教师提问)。目的：使学生熟悉通项公式对学生进行基本技能训练。
五.归纳小结提炼精华
(由学生总结这节课的收获)
1.等差数列的概念及数学表达式.
强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数
2.等差数列的通项公式an= a1+(n-1) d会知三求一
六.课后作业运用巩固
必做题：课本P284习题A组第3，4，5题
数列的教案8
一、等差数列
1、定义
注：“从第二项起”及
“同一常数”用红色粉笔标注
二、等差数列的通项公式
（一）例题与练习
通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。
（二）新课探究
1、由引入自然的给出等差数列的概念：
如果一个数列，从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调：
① “从第二项起”满足条件； f
②公差d一定是由后项减前项所得；
③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）；
在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：
an+1—an=d （n≥1） ;h4z+0"6vG
同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。
1。 9 ，8，7，6，5，4，……；√ d=—1
2。 0。70，0。71，0。72，0。73，0。74……；√ d=0。01
3。 0，0，0，0，0，0，……。; √ d=0
4。 1，2，3，2，3，4，……；×
5。 1，0，1，0，1，……×
其中第一个数列公差<0，>0，第三个数列公差=0
由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0
2、第二个重点部分为等差数列的通项公式
在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项 ，公差d，由学生研究分组讨论a4 的通项公式。通过总结a4的通项公式由学生猜想a40的通项公式，进而归纳an的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。
若一等差数列{an }的首项是a1，公差是d，
则据其定义可得：
a2 — a1 =d 即： a2 =a1 +d
a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d
a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d
……
猜想： a40 = a1 +39d
进而归纳出等差数列的通项公式：
an=a1+（n—1）d
此时指出： 这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法——————迭加法：
a2 – a1 =d
a3 – a2 =d
a4 – a3 =d
……
an+1 – an=d
将这（n—1）个等式左右两边分别相加，就可以得到 an– a1= （n—1） d即 an= a1+（n—1） d （1） 当n=1时，（1）也成立， 所以对一切n∈N﹡，上面的公式都成立 因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。 在迭加法的`证明过程中，我采用启发式教学方法。 利用等差数列概念启发学生写出n—1个等式。 对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n—1个等式相加。证出通项公式。 在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到“注重方法，凸现思想” 的教学要求 接着举例说明：若一个等差数列｛an｝的首项是１，公差是２，得出这个数列的通项公式是：an=1+（n—1）×2 ， 即an=2n—1 以此来巩固等差数列通项公式运用 同时要求画出该数列图象，由此说明等差数列是关于正整数n一次函数，其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列，使数列的性质显现得更加清楚。 （三）应用举例 这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。 例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；第30项；第40项 （2）—401是不是等差数列—5，—9，—13，…的项？如果是，是第几项？ 在第一问中我添加了计算第30项和第40项以加强巩固等差数列通项公式；第二问实际上是求正整数解的问题，而关键是求出数列的通项公式an 例2 在等差数列｛an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首项a1与公差d。 在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固 例3 是一个实际建模问题 建造房屋时要设计楼梯，已知某大楼第2层的楼底离地面的高度为3米，第三层离地面5。8米，若楼梯设计为等高的16级台阶，问每级台阶高为多少米？ 这道题我采用启发式和讨论式相结合的教学方法。启发学生注意每级台阶“等高”使学生想到每级台阶离地面的高度构成等差数列，引导学生将该实际问题转化为数学模型——————等差数列：（学生讨论分析，分别演板，教师评析问题。问题可能出现在：项数学生认为是16项，应明确a1为第2层的楼底离地面的高度，a2表示第一级台阶离地面的高度而第16级台阶离地面高度为a17，可用展示实际楼梯图以化解难点） 设置此题的目的： 1。加强同学们对应用题的综合分析能力， 2。通过数学实际问题引出等差数列问题，激发了学生的兴趣； 3。再者通过数学实例展示了“从实际问题出发经抽象概括建立数学模型，最后还原说明实际问题的“数学建模”的数学思想方法 （四）反馈练习 1、小节后的练习中的第1题和第2题（要求学生在规定时间内完成）。目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。 2、书上例3）梯子的最高一级宽33c，最低一级宽110c，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。 目的：对学生加强建模思想训练。 3、若数例{an} 是等差数列，若 bn = an ，（为常数）试证明：数列{bn}是等差数列 此题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。 （五）归纳小结 （由学生总结这节课的收获） 1。等差数列的概念及数学表达式． 强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数 2。等差数列的通项公式 an= a1+（n—1） d会知三求一 3．用“数学建模”思想方法解决实际问题 （六）布置作业 必做题：课本P114 习题3。2第2，6 题 选做题：已知等差数列{an}的首项a１= —24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。（目的：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求） 五、板书设计 在板书中突出本节重点，将强调的地方如定义中，“从第二项起”及“同一常数”等几个字用红色粉笔标注，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。 一、教材分析 两个重要极限是在学生系统学习了数列极限、函数极限以及函数极限运算法则的基础上进行研究的，它在求函数极限中起着重要作用，也是今后研究各种基本初等函数求导公式的工具，所以两个重要极限应重点研究。 二、学情分析 一方面，学生已经学习了有界函数和无穷小乘积的极限，他们可以通过类比的方法研究这第一个重要极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生基础比较薄弱，对以前所学的三角函数关系、二倍角公式等运用还不够熟练，所以现在在角的转化上面还存在一定困难。 三、教学目标 根据以上两点分析并结合本节教材的特点，现把本节课的目标、重点、难点定为： 教学目标： （1）知识与技能：使学生掌握重要极限公式的特点及其变形式，并能运用其求某些函数极限； （2）过程与方法：提高学生的自学意识，培养学生类比、观察、归纳、举一反三等方面的能力； （3）情感态度与价值观：通过对重要极限公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，同时激发学生的学习兴趣。 教学重点与难点： 重点：重要极限公式及其变形式 难点：的灵活应用 四、教法与学法的选择 本节课我是以学案为载体，采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 学法上以课前自学为主要方式，在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，让学生自己出题，把思路方法和需要解决的`问题弄清。 五、教学环节的设计 （1）课前尝试 利用学案导学，让学生明确课前要做的作业，课堂采用的方法，需要达到的要求，在尝试练习中，让学生通过练习，类比，引入新课。 （2）课堂探究 通过学生探究讨论得出第一个重要极限以及这个极限公式的特点，再由学生举例说明这个重要极限类似的其他形式来认清它的结构特征，讲解这个重要极限的应用时，让学生自己尝试举例，从而使学生达到能够熟练应用举一反三的目的。 （3）课堂巩固 学生在课堂练习中巩固所学内容，从而提升对这一重要极限的认识。 （4）课后拓展 在课后拓展中让学生原有的知识网络的三角函数关系、二倍角公式和函数极限这些没有直接关系的知识，通过这第一个重要极限及其运用牢牢地联系在了一起。 §2.1 数列的概念 一、知识要点 1、数列的定义：按照一定 排列的一列数叫数列.数列中的 都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首 项），第2项, …,第n项, …数列的一般形式可以写成： ，其中 是数列的 ，叫做数列的 ，我们通常把一般形式的数列简记作 。 2、数列的表示: (1)列举法:将每一项一一列举出表示数列的方法. (2)图像法:由(n,an)点构成的一些孤立的点; (3)解析法:用通项公式an=f(n)（ ）表示. 通项公式：如果数列{ }中的第n项 与n之间的关系可以用一个公式表示，则称此公式为数列的 . 数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项. 思考与讨论: ①数列与数集有什么区别？ 与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质； 确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的。 可重复性：数列中的数可以重复。 有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关。 ②是否所有的数列都有通项公式？ ③{ }与 有什么区别？ ⑷递推公式法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项. 递推公式也是求数列的一种重要的方法，但并不是所有的数列都有递推公式。 3、数列与函数 从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为 （或它的 ）的函数 ，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.数列的 是相应的函数的解析式，它的图像是 。 4、数列分类： 按项数分类： ， . 按项与项间的大小关系分类： ， 5、任意数列{an}的前n项和的性质 = a1+ a2+ a3+ ……+ an 6、求数列中最大最小项的方法： 最大 最小 ，考虑数列的单调性. 二、典例分析 题型1: 用观察法求数列的通项公式 例1、根据下面各数列前几项，写出一个通项. ⑴-1,7,-13,19,…； ⑵7,77,777,777,…； 根据数列前几项的规律，写出数列的一个通项公式，主要从以下几个方面考虑： ⑴通常先将每项分解成几部分（如符号、绝对值、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数n的关系写通项. ⑵正负相间的问题，符号用（－1）n或（－1）n+1调节，这是因为n和n+1奇偶交错. ⑶分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系. ⑷较复杂的数列的通项公式，可借助一些熟知数列，如数列{n2}，{ }，{2n}， ， {10n－1}，{1－10—n }等. ⑸有些数列的通项公式可用分段函数形式表示. 题型2: 运用an与Sn的关系求通项 例2、已知数列 的前n项的和 . ⑴写出数列的通项公式； ⑵判断 的单调性. 题型3:运用函数思想解决数列问题 例3、已知数列 中， 它的最小项是（ ） A.第一项B.第二项C.第三项D. 第二项或第三项 题型4: 递推数列 例4、⑴若数列 中， ，且各项满足 ，写出该数列的前5项． ⑵已知数列{an}中， ，且各项满足 ，写出该数列的前5项. 三、时作业 1.数列 …的一个通项公式是 （ ） 2.已知数列 满足 ,则数列 是( ) A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列 3.已知数列 的首项 且 ,则 等于( ) A. B. C. D. 4.已知数列 中, , 则 等于( ) A. B. C. D. 5.已知数列 对任意的 满足 ，且 ，那么 等于（ ） A． B． C． D． 6.已知数列{ }的前 项和 ，第 项满足 ，则 （ ） A． B． C. D． 7.数列 ，…，则按此规律， 是这个数列的第 项. 8.已知数列 的通项公式 ，则 = ， 65是它的第 项. 9.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x应为_______. 10.写出下列数列的通项公式： ⑥1,0,1,0,1,0,…； 11.已知数列 （1）求这个数列的第10项； （2） 是不是该数列中的项，为什么？ （3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内； （4）在区间 内有无数列中的项？若有，有几项？若无，说明理由. 12.已知数列 的通项公式为 . (1)试问 是否是数列 中的项? (2)求数列 的最大项. 导数在研究函数中的作用 M §1.3导数在研究函数中的作用 §1.3.1单调性（1） 目的要求：（1）弄清函数的单调性与导数之间的关系 （2）函数的单调性的判别方法；注意知识建构 （3）利用导数求函数单调区间的步骤 （4）培养学生数形结合的能力。识图和画图。 重点难点：函数单调性的判别方法是本节的重点，求函数的单调区间是本节的重点和难点。 内容： 导数作为函数的变化率刻画了函数变化的趋势（上升或下降的.陡峭程度），而函数 的单调性也是对函数变化趋势的一种刻画，回忆：什么是增函数，减函数，增区间，减区间。 思考：导数与函数的单调性有什么联系？ 函数的单调性的规律： 思考：试结合函数 进行思考：如果 在某区间上单调递增，那么在该区间上必有 吗？ 例1．确定函数 在那个区间上是增函数，哪个区间上是减函数。 例2．确定函数 在那些区间上是增函数？ 例3．确定函数 的单调减区间。 巩固： 1．确定下列函数的单调区间： 2．讨论函数 的单调性： （1） 小结：函数单调性的判定方法，函数的单调性区间的求法。 作业： 1．设 ，则 的单调减区间是 2．函数 的单调递增区间为 3．二次函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是 4．在下列结论中，正确的结论共有： （ ） ①单调增函数的导函数也是增函数 ②单调减函数的导函数也是减函数 ③单调函数的导函数也是单调函数 ④导函数是单调的，则原函数也是单调的 A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 5．若函数 则 的单调递减区间为 单调递增区间为 6．已知函数 在区间 上为减函数，则m的取值范围是 7．求函数 的递增区间和递减区间。 8．确定函数y= 的单调区间． 9．如果函数 在R上递增，求a的取值范围。 §1.3.1单调性（2） 目的要求：（1）巩固利用导数求函数的单调区间 （2）利用导数证明函数的单调性 （3）利用单调性研究参数的范围 （4）培养学生数形结合、分类讨论的能力，养成良好的分析问题解决问题的能力 重点难点：利用图像及单调性区间研究参数的范围是本节的重点难点 内容： 1．回顾 函数的导数与单调性之间的关系 2．板演 求下列函数得单调区间： 高二数学“杨辉三角”与二项式系数的性质导学案 第13时 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质(一) 学习目标 掌握二项式系数的性质.培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力. 学习过程 一、学前准备 复习：（本P37B2）求证： 二、新导学 ◆探究新知（预习教材P29～P31，找出疑惑之处） 问题1：计算 展开式的二项式系数并填入下表： 展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 ◆应用示例 例1．（本P34例3）试证：在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. ◆反馈练习 1. （本P35练1）填空： （1） 的各二项式系数的最大值是 ； （2） ; (3) . 2. （本P35练2）证明 （ 是偶数）. 三、当堂检测 1. （本P40A(7)） 的展开式中，系数最大的项是第 项. 2.已知 为正偶数，且 的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是 . 3.在 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（ ）. A.-7 B.7 C.-28 D.28 2.（本P35练3）写出 从1到10的二项式系数表. 后作业 1．（本P37A7）利用杨辉三角，画出函数 的图象. 2. （本P37A8）已知 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数. 3.已知在 的展开式中，第6项为常数项.（1）求 ；（2）求含 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项. 二项式定理导学案 第11时 1.3.1 二项式定理（一） 学习目标 1．用两个计数原理分析 的展开式，归纳地得出二项式定理，并能用计数原理证明； 2．掌握二项展开式的通项公式；能应用它解决简单问题. 学习过程 一、学前准备 试试：用多项式乘法法则得到下列式子的展开式，并说出未合并同类项之前的项数与各项的形式. （1） ；（2） ；（3） 。 二、新导学 ◆探究新知（预习教材P29～P31，找出疑惑之处） 问题： 如何利用两个计数原理得到 的展开式？你能由此猜想一下 的展开式是什么吗？ ◆应用示例 例1．求 的展开式。 例2．展开 ，并求第3项二项式系数和第6项系数。 例3．（1）求 的展开式的第4项的系数； （2）求 的展开式中 的系数。 ◆反馈练习（本P31练1-4） 1. 写出 的展开式. 2．求 的展开式的第3项. 3．写出 的展开式的第 项. 4． 的展开式的第6项的系数是（ ） A、 B、 C、 D、 三、当堂检测 1. 求 的展开式。 2．求 的展开式中 的系数。 3．求二项式 的展开式中的常数项。 四、后作业 1．用二项式定理展开： . 3．求下列各式的二项展开式中指定各项的系数：（1） 的含 的项； （2） 的常数项。 2.2二项分布及其应用教案三（新人教A版选修2-3） 2．2．2事的相互独立性 目标： 知识与技能：理解两个事相互独立的概念。 过程与方法：能进行一些与事 独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 重点：独立事 同时发生的概率 教学难点：有关独立事发生的概率计算 授类型：新授 时安排：2时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1 事的定义：随机事：在一定条下可能发生也可能不发生的事； 必然事：在一定条下必然发生的事； 不可能事：在 一定条下不可能发生的事 2．随机事的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事 发生的频率 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事 的概率，记作 ． 3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事的概率为 ，不可能事的概率为 ，随机事的概率为 ，必然事和不可能事看作随机事的两个极端情形 5 基本事：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事 ）称为一个基本事 6．等可能性事：如果一次试验中可能出现的结果有 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事的概率都是 ，这种 事叫等可能性事 7．等可能性事的概率：如果一次试验中可能出现的结果有 个，而且所有结果都是等可能的，如果事 包含 个结果，那么事 的概率 8．等可能性事的概率公式及一般求解方法 9.事的和的意义:对于事A和事B是可以进行加法运算的 10 互斥事:不可能同时发生的两个事． 一般地：如果事 中的任何两个都是互斥的，那么就说事 彼此互斥 11．对立事:必然有一个发生的互斥事． 12．互斥事的概率的求法:如果事 彼此互斥，那么 探究: (1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？ 事 ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事 ：乙掷一枚硬币，正面朝上 (2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？ 事 ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事 ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球 问题(1)、(2)中事 、 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以） 问题(1)、(2)中事 （或 ）是否发生对事 （或 ）发生的概率有无影响？（无影响） 思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事B为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事A的发生会影响事B 发生的概率吗? 显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事A的发生不会影响事B 发生的概率．于是 P（B A）=P(B）, P（AB）=P( A ) P ( B A）=P（A）P(B). 二、讲解新： 1．相互独立事的定义： 设A, B为两个事，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事A与事B相互独立（mutually independent ) . 事 （或 ）是否发生对事 （或 ）发生的概率没有影响，这样的两个事叫做相互独立事 若 与 是相互独立事，则 与 ， 与 ， 与 也相互独立 2．相互独立事同时发生的概率： 问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事，它的发生，就是事 ， 同时发生，记作 ．（简称积事） 从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果 于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有 种等可能的结果 同时 摸出白球的结果有 种 所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率 ． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率 ，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率 ．显然 ． 这就是说，两个相互独立事同时发生的概率，等于每个事发生的概率的积 一般地，如果事 相互独立，那么这 个事同时发生的概率，等于每个事发生的概率的积， 即 ． 3．对于事A与B及它们的和事与积事有下面的关系： 三、讲解范例： 例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事的概率： (1)都抽到某一指定号码； (2)恰有一次抽到某一指定号码； (3)至少有一次抽到某一指定号码． 解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事AB．由于两次抽奖结果互不影响，因此A与B相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025. (2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A ）U（ B）表示．由于事A 与 B互斥，根据概率加法公式和相互独立事的定义，所求的概率为 P (A ）十P（ B）=P（A）P（ ）+ P（ ）P（B ) = 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095. ( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A ）U（ B）表示．由于事 AB , A 和 B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P（A ）+ P（ B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5. 例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击 次，甲射中的概率为 ，乙射中的概 率为 ，求： （1） 人都射中目标的概率； （2） 人中恰有 人射中目标的概率； （3） 人至少有 人射中目标的概率； （4） 人至多有 人射中目标的概率？ 解：记“甲射击 次，击中目标”为事 ，“乙射击 次，击中目标”为事 ，则 与 ， 与 ， 与 ， 与 为相互独立事， （1） 人都射中的概率为： ∴ 人都射中目标的概率是 ． （2）“ 人各射击 次，恰有 人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事 发生），另一种是甲未击中、乙击中（事 发生） 根据题意，事 与 互斥，根据互斥事的概率加法公式和相互独立事的概率乘法公式，所求的概率为： ∴ 人中恰有 人射中目标的概率是 ． （3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为 ． （法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事， 2个都未击中目标的概率是 ， ∴“两人至少有1人击中目标”的概率为 ． （4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”， 故所求概率为： （法2）：“至多有1人击中目标”的对立事是“2人都击中目标”， 故所求概率为 例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作 假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 解：分别记这段时间内开关 ， ， 能够闭合为事 ， ， ． 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响 根据相互独立事的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是 ∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是 答：在这段时间内线路正常工作的概率是 ． 变式题1：如图添加第四个开关 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 方法一： 方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除 开且 与 至少有1个开的情况 例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2． （1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率； （2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率 解:（1）设敌机被第k门高炮击中的事为 (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事为 ． ∵事 ， ， ， ， 相互独立， ∴敌机未被击中的概率为 ∴敌机未被击中的概率为 ． （2）至少需要布置 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得： 敌机被击中的概率为1- ∴令 ，∴ 两边取常用对数，得 ∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机 点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法 采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便 四、堂练习： 1．在一段时间内，甲去某地的概率是 ，乙去此地的概率是 ，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( ) 2．从甲口袋内摸出1个白球的概率是 ，从乙口袋内摸出1个白球的概率 是 ，从两个口袋内各摸出1个球，那么 等于（ ） 2个球都是白球的概率 2个球都不是白球的概率 2个球不都是白球的概率 2个球中恰好有1个是白球的概率 3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ ） 0.128 0.096 0.104 0.384 4．某道路的 、 、 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45 秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 （ ） 5．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ； （2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ． 6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6， （1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为 ． （2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为 ；此穴有壮苗的概率为 ． 7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0 .79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率. 8．制造一种零，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1，其中恰有 1废品的概率是多少？ 9 ．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？ 答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1) (2) 6.(1) , (2) , 7. P= 8. P= 9. 提示： 五、小结 ：两个事相互独立，是指它们其中一个事的发生与否对另一个事发生的概率没有影响 一般地，两个事不可能即互斥又相互独立，因为互斥事是不可能同时发生的，而相互独立事是以它们能够同时发生为前提的 相互独立事同时发生的概率等于每个事发生的概率的积,这一点与互斥事的概率和也是不同的 六、后作业：本58页练习1、2、3 第60页 习题 2. 2A组4. B组1 七、板书设计（略） 八、教学反思： 1. 理解两个事相互独立的概念。 2. 能进行一些与事独立有关的概率的计算。 3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用。 正切函数的诱导公式 j.Co M 泗县三中教案、学案：正切函数的诱导公式 年级高一学科数学课题正切函数的诱导公式 授课时间撰写人张军 学习重点结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质 学习难点熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题 学 习 目 标 教 学 过 程 一 自 主 学 习 1. tan(2π＋α)＝ tan(－α)＝ tan(2π－α)＝ tan(π－α)＝ tan(π＋α)＝ 2. 求下列三角函数的值. （1） （2） 二 师 生 互动 例1．若tanα＝ ，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。 例2．化简： 例3.求 的值. 三 巩 固 练 习 1.若 ,求 的值. 2.已知sin 是方程 的根，求 的值. 四 课 后 反 思 五 课 后 巩 固 练 习 1.已知 ,则 . 2.已知 且 ，求 的值. 3.化简: . 高二数学2.4 二次分布学案 §2.4 二项分布（二） 一、知识要点 1．独立重复试验 2． ， ， 二、典型例题 例1．甲、乙两人进行五局三胜制的象棋比赛，若甲每盘的胜率为 ，乙每盘的胜率为 （和棋不算），求： （1）比赛以甲比乙为3比0胜出的概率； （2）比赛以甲比乙为3比2胜出的概率。 例2．某地区为下岗免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响。 （1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （2）任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列。 例3．A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为 ，服用B有效的概率为 。 （1）求一个试验组为甲类组的概率； （2）观察3个试验组，用X表示这3个试验组中甲类组的个数，求X的分布列。 三、巩固练习 1．某种小麦在田间出现自然变异植株的概率为0.0045，今调查该种小麦100株，试计算两株和两株以上变异植株的概率。 2．某批产品中有20%的不含格品，进行重复抽样检查，共取5个样品，其中不合格品数为X，试确定X的概率分布。 3．若一个人由于输血而引起不良反应的概率为0.001，求 （1）20xx人中恰有2人引起不良反应的概率； （2）20xx人中多于1人引起不良反应的概率； 四、堂小结 五、后反思 六、后作业 1．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为（精确为0.0001）_________________。 2．一射击运动员射击时，击中10环的概率为0.7，击中9环的概率0.3，则该运动员射击3次所得环数之和不少于29环的概率为_______________。 3．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14。 其中正确结论的序号是_______________。（写出所有正确结论的序号） 4．某产品10，其中3次品，现依次从中随机抽取3（不放回），则3中恰有2次品的概率为_____________。 5．某射手每次射击击中目标的概率都是0.8，现在连续射击4次，求击中目标的次数X的概率分布。 6．某安全生产监督部门对6家小型煤矿进行安全检查（简称安检），若安检不合格，则必须进行整改，若整改后经复查仍不合格，则强行关闭，设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，每家煤矿整改前安检合格的概率是0.6，整改后安检合格的概率是0.9，计算： （1）恰好有三家煤矿必须整改的概率； （2）至少关闭一家煤矿的概率。（结果精确到0.01） 7．9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。 （1）求甲坑不需要补种的概率； （2）求3个坑中需要补种的坑数X的分布列； （3）求有坑需要补种的概率。（精确到0.001） 学习是一个潜移默化、厚积薄发的过程。编辑老师编辑了高一数学教案：数列，希望对您有所帮助! 教学目标 1.使学生理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项. (1)理解数列是按一定顺序排成的一列数，其每一项是由其项数唯一确定的. (2)了解数列的各种表示方法，理解通项公式是数列第项与项数的关系式，能根据通项公式写出数列的前几项，并能根据给出的一个数列的前几项写出该数列的一个通项公式. (3)已知一个数列的递推公式及前若干项，便确定了数列，能用代入法写出数列的前几项. 2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力. 3.通过由求的过程，培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯. 教学建议 (1)为激发学生学习数列的兴趣，体会数列知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中抽象出数列要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还有物品堆放个数的计算等. (2)数列中蕴含的`函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系.在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列.函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法.由于数列的自变量为正整数，于是就有可能相邻的两项(或几项)有关系，从而数列就有其特殊的表示法——递推公式法. (3)由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，教师应精心设计例题，使这一例题为写通项公式作一些准备，尤其是对程度差的学生，应多举几个例子，让学生观察归纳通项公式与各项的结构关系，尽量为写通项公式提供帮助. (4)由数列的前几项写出数列的一个通项公式使学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项中的结构特征(整式，分式，递增，递减，摆动等)，由学生归纳一些规律性的结论，如正负相间用来调整等.如果学生一时不能写出通项公式，可让学生依据前几项的规律，猜想该数列的下一项或下几项的值，以便寻求项与项数的关系. (5)对每个数列都有求和问题，所以在本节课应补充数列前项和的概念，用表示的问题是重点问题，可先提出一个具体问题让学生分析与的关系，再由特殊到一般，研究其一般规律，并给出严格的推理证明(强调的表达式是分段的);之后再到特殊问题的解决，举例时要兼顾结果可合并及不可合并的情况. (6)给出一些简单数列的通项公式，可以求其最大项或最小项，又是函数思想与方法的体现，对程度好的学生应提出这一问题，学生运用函数知识是可以解决的. 上述提供的高一数学教案：数列希望能够符合大家的实际需要! 教学准备 教学目标 知识目标：使学生掌握等比数列的定义及通项公式，发现等比数列的一些简单性质，并能运用定义及通项公式解决一些实际问题。 能力目标：培养运用归纳类比的方法发现问题并解决问题的能力及运用方程的思想的计算能力。 德育目标：培养积极动脑的学习作风，在数学观念上增强应用意识，在个性品质上培养学习兴趣。 教学重难点 本节的重点是等比数列的定义、通项公式及其简单应用，其解决办法是归纳、类比。 本节难点是对等比数列定义及通项公式的深刻理解，突破难点的关键在于紧扣定义，另外，灵活应用定义、公式、性质解决一些相关问题也是一个难点。 教学过程 二、教法与学法分析 为了突出重点、突破难点，本节课主要采用观察、分析、类比、归纳的方法，让学生参与学习，将学生置于主体位置，发挥学生的主观能动性，将知识的形成过程转化为学生亲自探索类比归纳的过程，使学生获得发现的成就感。在这个过程中，力求把握好以下几点： ①通过实例，让学生发现规律。让学生在问题情景中，经历知识的形成和发展，力求使学生学会用类比的思想去看待问题。②营造民主的教学氛围，把握好师生的情感交流，使学生参与教学全过程，让学生唱主角，老师任导演。③力求反馈的全面性、及时性。通过精心设计的提问，让学生思维动起来，针对学生回答的问题，老师进行适当的调控。④给学生思考的时间和空间，不急于把结果抛给学生，让学生自己去观察、分析、类比得出结果，老师点评，逐步养成科学严谨的学习态度，提高学生的`推理能力。⑤以启迪思维为核心，启发有度，留有余地，导而弗牵，牵而弗达。这样做增加了学生的参与机会，增强学生的参与意识，教给学生获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体，使学生学会学习，提高学生学习的兴趣和能力。 三、教学程序设计 (4)等差中项：如果a 、 A 、 b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。 说明：通过复习等差数列的相关知识，类比学习本节课的内容，用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点。 2.导入新课 本章引言中关于在国际象棋棋盘各格子里放麦粒的问题中，各个格子的麦粒数依次是: 1 , 2 , 4 , 8 , … , 263 再来看两个数列： 5 ， 25 ，125 ， 625 ， ... ··· 说明：引导学生通过“观察、分析、归纳”，类比等差数列的定义得出等比数列的定义，为进一步理解定义，给出下面的问题： 判定以下数列是否为等比数列，若是写出公比q，若不是，说出理由，然后回答下面问题。 -1 , -2 , -4 , -8 … -1 , 2 , -4 , 8 … -1 , -1 , -1 , -1 … 1 , 0 , 1 , 0 … 提出问题：(1)公比q能否为零?为什么?首项a1呢? (2)公比q=1时是什么数列? (3)q>0是递增数列吗?q<0递减吗? 说明：通过师生问答，充分调动学生学习的主动性及学习热情，活跃课堂气氛，同时培养学生的口头表达能力和临场应变能力。另外通过趣味性的问题，来提高学生的学习兴趣。激发学生发现等比数列的定义及其通项公式的强烈欲望。 3.尝试推导通项公式 让学生回顾等差数列通项公式的推导过程，引导推出等比数列的通项公式。 推导方法：叠乘法。 说明：学生从方法一中学会从特殊到一般的方法，并从次数中去发现规律，以培养学生的观察能力;另外回忆等差数列的特点，并类比到等比数列中来，培养学生的类比能力及将新知识转化到旧知识的能力。方法二是让学生掌握“叠乘”的思路。 4.探索等比数列的图像 等差数列的图像可以看成是直线上一群孤立的点构成的，观察等比数列的通项公式，你能得出什么结果?它的图像如何? 变式2.等比数列{an}中，a2 = 2 , a9 = 32 , 求q. (学生自己动手解答。) 说明：例1的目的是让学生熟悉公式并应用于实际，例2及变式是让学生明白，公式中a1 ,q,n,an四个量中，知道任意三个即可求另一个。并从这些题中掌握等比数列运算中常规的消元方法。 6.探索等比数列的性质 类比等差数列的性质，猜测等比数列的性质，然后引导推证。 7.性质应用 例3.在等比数列{an}中，a5 = 2 , a10 = 10 , 求a15 (让学生自己动手，寻求多种解题方法。) 方法一：由题意列方程组解得 方法二：利用性质2 方法三：利用性质3 例4(见教材例3)已知数列{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证:{an·bn}是等比数列。 8.小结 为了让学生将获得的知识进一步条理化，系统化，同时培养学生的归纳总结能力及练习后进行再认识的能力，教师引导学生对本节课进行总结。 1、等比数列的定义，怎样判断一个数列是否是等比数列 2、等比数列的通项公式，每个字母代表的含义。 3、等比数列应注意那些问题(a1≠0,q≠0) 4、等比数列的图像 5、通项公式的应用 (知三求一) 6、等比数列的性质 7、等比数列的概念(注意两点①同号两数才有等比中项 ②等比中项有两个，他们互为相反数) 8、本节课采用的主要思想 ——类比思想 9.布置作业 习题3.4 1②、④ 3. 8. 9. 10.板书设计 一、知识与技能 1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项. 二、过程与方法 1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生：的观察力及归纳推理能力； 2.通过等差数列变形公式的教学培养学生：思维的深刻性和灵活性. 三、情感态度与价值观 通过等差数列概念的归纳概括，培养学生：的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识. 教学过程 导入新课 师：上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子) (1)0，5，10，15，20，25，…; (2)48，53，58，63，…; (3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…; (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，…. 请你们来写出上述四个数列的第7项. 生：第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510. 师：我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说. 生：这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为78. 师：说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征. 生：1每相邻两项的差相等，都等于同一个常数. 师：作差是否有顺序，谁与谁相减？ 生：1作差的顺序是后项减前项，不能颠倒. 师：以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列. 这就是我们这节课要研究的内容. 推进新课 等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的.差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示). （1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； （2）对于数列{an}，若an-a n-1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N*，则此数列是等差数列，d叫做公差. 师：定义中的关键字是什么?(学生：在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环.因此教师：应该教会学生：如何深入理解一个概念，以培养学生：分析问题、认识问题的能力) 生：从“第二项起”和“同一个常数”. 师：：很好！ 师：请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 生：数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5n-15.5，…. 师：好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考. ［合作探究］ 等差数列的通项公式 师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得什么? 生：a2-a1=d,即a2=a1+d. 师：对，继续说下去! 生：a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d; a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d; …… 师：好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗? 生：由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d. 师：很好!这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an了.需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗? 生：前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用.证明过程是这样的： 因为a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d.将它们相加便可以得到：an=a1+(n-1)d. 师：太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了. ［教师：精讲］ 由上述关系还可得：am=a1+(m-1)d, 即a1=am-(m-1)d. 则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d, 即等差数列的第二通项公式an=am+(n-m)d.(这是变通的通项公式) 由此我们还可以得到. ［例题剖析］ 【例1】（1）求等差数列8，5，2,…的第20项; （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 师：这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗? 生：1这题太简单了!首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49. 师：好!下面我们来看看第（2）小题怎么做. 生：2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为an=-5-4(n-1). 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项. 师：刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式就是an,a1,d,n组成的方程(独立的量有三个). 说明:(1)强调当数列｛an｝的项数n已知时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题.这类问题学生：以前见得较少，可向学生：着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an=-401成立. 【例2】已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 例题分析： 师：由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要根据什么? 生：只要看差an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数. 师：说得对，请你来求解. 生：当n≥2时，〔取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)〕 an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p为常数, 所以我们说{an}是等差数列，首项a1=p+q，公差为p. 师：这里要重点说明的是： (1)若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…. (2)若p≠0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，an)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q. (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式.课堂练习 (1)求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项. 分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所┣笙. 解：根据题意可知a1=3，d=7-3=4.∴该数列的通项公式为an=3+(n-1)×4，即an=4n-1(n≥1，n∈N*).∴a4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39. 评述：关键是求出通项公式. (2)求等差数列10，8，6，…的第20项. 解：根据题意可知a1=10，d=8-10=-2. 所以该数列的通项公式为an=10+(n-1)×(-2)，即an=-2n+12，所以a20=-2×20+12=-28. 评述：要求学生：注意解题步骤的规范性与准确性. (3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. 分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n值，使得an等于这个数. 解：根据题意可得a1=2，d=9-2=7.因而此数列通项公式为an=2+(n-1)×7=7n-5. 令7n-5=100，解得n=15.所以100是这个数列的第15项. (4)-20是不是等差数列0，，-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. 解：由题意可知a1=0，,因而此数列的通项公式为. 令，解得.因为没有正整数解，所以-20不是这个数列的项. 课堂小结 师：（1）本节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3）在生：活中能否运用？(让学生：反思、归纳、总结,这样来培养学生：的概括能力、表达能力) 生：通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式a n-a n-1=d(n≥2);其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n≥1). 【目标】 1．掌握一些常见等差等比数列综合问题的求解方法； 2．培养学生分析问题和解决问题的能力。 【难点】 难点是解决数列中的一些综合问题。 【教学过程】 例1．等差数列 的公差和等比数列 的公比都是d(d≠1)，且 ， ， ， ⑴求 和d的值； ⑵ 是不是 中的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。 例2．设等比数列 的公比为 , 前 项和为 ，若 成等差数列，求 的值． 例3．已知数列 的前n项和为 且满足 ． (1)判断 是否是等差数列，并说明理由； (2)求数列 的通项 ； 例4．设 是正数组成的数列，其前n项和为 ，且对于所有正整数n, 与2的等差中项等于 与2的等比中项。 ⑴写出的前3项； ⑵求 的通项公式（写出推理过程）; ⑶令 ， ,求 的值。 例5、已知数列 ，设 ，数列 。 （1）求证： 是等差数列； （2）求数列 的前n项和Sn； （3）若 一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。 例6．已知函数 ，数列 满足 （1）求数列 的通项公式； （2）令 ，求 ； （3）令 对一切 成立，求最小正整数m. 【课后作业】 1.设数列｜an｜是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 。 2.设等差数列 的公差 不为 ， ．若 是 与 的.等比中项，则 _________。 3.若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=_______。 4. 已知等比数列 的前 项和为 且 。 （1）求 的值及数列 的通项公式。 （2）设 求数列 的前 项和 。 5.设数列的前 项和为 ，已知 （1）设 ，求数列 的通项公式； （2）若 ，求 的取值范围 6．设 为数列 的前 项和，若 （ ）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”． （1）若数列 是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列 是否为“和等比数列”； （2）若数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，且数列 是“和等比数列”，试探究 与 之间的等量关系． 7.已知数列 是首项 ，公比q>0的等比数列，设 且 , 。 ⑴求数列 的通项公式, ⑵设数列 的前项和为 ，求证数列 是等差数列； ⑶设数列 的前n项和为 ,当 取最大值时,求n的值. 二元一次不等式（组）与平面区域 3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（第2时） 使用说明： 1.前认真预习本，完成本学案； 2.上认真和同学讨论交流，积极回答问题、板演，认真听老师点评； 3.下复习，整理归纳。 教学目标： 理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的 通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它 的一个通项公式；培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力 教学重点： 1.理解数列概念； 2.用通项公式写出数列的任意一项. 教学难点： 根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式. ,提高观察、抽象的能力 一、基本概念 数列：按照一定顺序排列着的一列数. 数列的项、数列的项数 表示数列的第n项与序号n之间的关系的公式 通项公式：不是所有的数列都有通项公式 n n +1 、( 1) 符号控制器：如( 1) 递推公式：表示任一项与它的前一项(或前几项)间的关系的公式. 有穷数列：项数有限的数列. 无穷数列：项数无限的数列. 递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列. 数列分类 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列. 常数列：各项相等的数列. 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.二、等差数列：从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数称为等差数列 的公差. an an 1 d , n 2且n Z ,或 an 1 an d , n 1且n Z an a1 n 1 d am n m d kn b a a1 an am 1、若等差数列 an 的首项是 a1 ,公差是 d ,则有 d n n 1 n m a a n n 1 1 d 等差中项：三个数a,G,b组成的等差数列，则称G为a与b的等差中项 2G=a b 2n p q 2an a p aq 若{an }是等差数列，则 性质： m n p q am an a p aq 若{an }是等差数列，则am、am k、am 2 k、am 3k、 构成公差公差kd的等差数列 若{a }、{b }是等差数列, 则{ a + }、 { an + bn }是等差数列 n n n 2、等差数列的前 n 项和的公式： Sn 等差数列的前 n 项和的性质： n a1 an n n 1 na1 d pn2 qn 2 2 S偶 S奇 nd * a S奇 若项数为2n n ,则S2 n n an an 1 , n S偶 an 1 (1) S奇 S偶 an * 若项数为2n 1 n ,则S n S奇 2 n 1 2n 1 an,S奇 nan S 偶 n 1 an, S偶 n 1 Sm,S2 m Sm ,S3m S2 m成等差数列 (2) S n { }是等差数列 n 若等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和为 Sn , Tn ,,则 an S 2 n 1 bn T2 n 1 (3)等差数列的求和最值问题：(二次函数的配方法；通项公式求临界项法) ①若 ak 0 a1 0 ,则 S n 有最大值，当 n=k 时取到的`最大值 k 满足 d 0 ak 1 0 ak 0 a1 0 ,则 S n 有最小值，当 n=k 时取到的最大值 k 满足 d 0 ak 1 0 ②若 三、等比数列：从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个常数称为等比数列 的公比. 1、通项公式及其性质 an a1q n 1 am q n m 若等比数列 an 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 n 1 an n m an . q a , q am 1 a,G,b成等比数列，则称G为a与b的等比中项 G 2 ab 2 2n p q an a p aq 性质：若 {an }是等比数列，则 m n p q am an a p aq k am、am k、am 2 k、am 3k、 成公比q 的等比数列2、前 n 项和及其性质 na1 q 1 , (q 1) . Sn a1 1 q n a a q a a q n a a 1 n 1 1 1 q n 1 Aq n A, q 1 1 q 1 q 1 q 1 q 1 q Sn m Sn q n Sm Sn、S2 n Sn、S3n S2 n成等比数列 . 性质 S偶 若项数为2n,则 S q 奇 Sm,S2 m Sm ,S3m S2 m成等比数列四、(1) an 与 Sn 的关系： an n 1 S1 ; (检验 a1 是否满足 an Sn Sn 1 ) S S n 2 n 1 n n(n 1) 1 2 3 n 2 n(n 1)(n 2) (2) 12 22 32 n 2 6 2 3 3 3 n (n 1) 2 3 1 2 3 n 4 五、一些方法 1、等差数列、等比数列的最大项、最小项；前 n 项和的最大值、最小值 2、求通向公式的常见方法 (1)观察法；待定系数法(已知是等差数列或等比数列); (2) an an 1 f (n), 累加消元; an f (n), 累乘消元。 an 1 (3 ) an 1 1 an 1 , (倒数构造等差: k ) ; an k an an 1 an an 1 an an 1 , (两边同除构造等差: 1 1 1) ; an an 1 (4) an kan 1 b, 化为 (an x) k (an 1 x) 构造等比 an qan 1 pn r(构造等比数列： , an xn y q an 1 x n 1 y )an qan 1 pn ,化为3、求前 n 项和的常见方法 公式法、倒序相加、错位相减、列项相消、分组求和 an q an 1 q 1 ,分 是否等 1 讨论。 n n 1 p p p p 来在学习第二章函数知识的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们 看一些例子. 1,2,3,4,…,50 1,2,22,23,…,263 ① ② 15,5,16,16,28 0,10,20,30,…,1000 1,0.84,0.842,0.843,… ③ ④ ⑤ 请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？ 它们均是一列数，它们是有一定次序的. 引出数列及有关定义. 1.定义 (1)数列：按照一定次序排成的一列数. 看来上述例子就为我们所学数列.那么一些数为何将其按照一定的次序排列，它有何实际意 义呢？也就是说和我们生活有何关系呢？ 如数列①,它就是我们班学生的学号由小到大排成的一列数. 数列②,是引言问题中各个格子里的麦粒数按放置的先后排成的一列数. 数列③,好像是我国体育健儿在五次奥运会中所获金牌数排成的一列数. 数列④,可看作是在 1 km 长的路段上，从起点开始，每隔 10 m 种植一棵树，由近及远各 棵树与起点的距离排成的一列数. 数列⑤,我们在化学课上学过一种放射性物质，它不断地变化为其他物质，每经过 1 年，它 就只剩留原来的 84%, 若设这种物质最初的质量为 1, 则这种物质各年开始时的剩留量排成一列 数，则为：1,0.84,0.842,0.843,…. 诸如此类，还有很多，举不胜举，我们学习它，掌握它，也是为了使我们的生活更美好，下 面我们进一步讨论，好吗？ 现在，就上述例子，我们来看一下数列的基本知识. 比如，数列中的每一个数，我们以后把其称为数列的项，各项依次叫做数列的第 1 项(或首 项),第 2 项，…,第 n 项，…. 那么，数列一般可表示为 a1,a2,a3,…,an,….其中数列的第 n 项用 an 来表示. 数列还可简记作{an}. 【数列的教案】相关文章： 等差数列教案08-19 高中数学数列教案03-11 高中数学数列教案[精]05-08 数列教学反思05-18 《等差数列》说课稿12-06 等差数列教学反思04-09 《等差数列》教学反思05-16 数列教学反思共15篇05-25 《等差数列》说课稿11篇01-13数列的教案9
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