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《完全平方公式》教案

时间：2023-09-02 07:21:11 教案我要投稿

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《完全平方公式》教案

　　作为一名教学工作者，可能需要进行教案编写工作，教案是教学活动的依据，有着重要的地位。快来参考教案是怎么写的吧！以下是小编精心整理的《完全平方公式》教案，仅供参考，欢迎大家阅读。

《完全平方公式》教案

《完全平方公式》教案1

　　授课教师：

　　授课时间：

　　课型：新授

　　课题：3.4探究实际问题与一元一次方程组

　　教学目标基础知识：掌握一元一次方程得解法，了解销售中的数量关系。

　　基本技能：能够分析实际问题中的数量关系，找相等关系，列出一元一次方程。

　　基本思想

　　方法：通过将实际问题转化成数学问题，培养学生的建模思想；

　　基本活动经验体会解决实际问题的一般步骤及盈亏中的关系

　　重点探索并掌握列一元一次方程解决实际问题的方法，教学

　　难点找出已知量与未知量之间的'关系及相等关系。

　　教具资料准备教师准备：课件

　　学生准备：书、本

　　教学过程自备

　　补充集备

　　补充

　　一、创设情景引入新课

　　观察图片引课（见大屏幕）

　　二、探究

　　探究销售中的盈亏问题：

　　1、商品原价200元，九折出售，卖价是元。

　　2、商品进价是30元，售价是50元，则利润

　　是元。

　　2、某商品原来每件零售价是a元，现在每件降价10%，降价后每件零售价是元。

　　3、某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为元。

　　4、某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则原定售价是。

　　（学生总结公式）

　　熟悉各个量之间的联系有助于熟悉利润、利润率售价进价之间联系

《完全平方公式》教案2

　　教学目标：

　　1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；

　　2.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；

　　3.了解完全平方公式的几何背景。教学重点：

　　1.弄清完全平方公式的来源及其结构特点，能用自己的。语言说明公式及其特点；

　　2.会用完全平方公式进行运算。教学难点：会用完全平方公式进行运算教学过程：

　　一、探索练习：

　　一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种。(图略)

　　用不同的`形式表示实验田的总面积，并进行比较你发现了什么？

　　观察得到的式子，想一想：

　　(1)(a+b)2等于什么？你能不能用多项式乘法法则说明理由呢？

　　(2)(a-b)2等于什么？小颖写出了如下的算式：

　　(a-b)2=[a+(b)]2.

　　她是怎么想的？你能继续做下去吗？

　　由此归纳出完全平方公式：

　　(a+b)2=a2+2ab+b2

　　(a-b)2=a22ab+b2

　　教师在此时应该引导观察完全平方公式的特点，并用自己的言语表达出来。

　　例：(利用完全平方公式计算)

　　(1)(2x-3)2

　　解：(2x-3)2

　　=(2x)2-2(2x)3+32

　　=4x12x+9

　　二、巩固练习：

　　1.下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算xxxxxxxxx

　　(1) ;(2) ;

　　(3) ;(4) .

　　2.计算下列各式：

　　(1) ;(2) ;(3) ;

　　(4) ;(5) ;

　　(6) .

　　4.填空：

　　(1) xxxxxxxxx_;(2) ;

　　(3) ;三、提高练习：

　　1.求的值，其中

　　2.若

　　小结：熟记完全平方公式，会用完全平方公式进行运算。作业：课本P36习题1.13：1.2.教学后记：学生基本上能套用平方差公式进行运算，但是也有出现以下错误：(1)(a+b)2=a2+b2 (2)(+a)(2-a)=6-a2

　　对公式的真正理解有待加强。

《完全平方公式》教案3

　　学生活动：学生分组讨论，选代表解答．

　　练习三

　　（1）有甲、乙、丙、丁四名同学，共同计算，以下是他们的计算过程，请判断他们的计算是否正确，不正确的请指出错在哪里．

　　甲的计算过程是：原式

　　乙的计算过程是：原式

　　丙的计算过程是：原式

　　丁的计算过程是：原式

　　（2）想一想，与相等吗？为什么？

　　与相等吗？为什么？

　　学生活动：观察、思考后，回答问题．

　　【教法说明】练习二是一组数字计算题，使学生体会到公式的.用途，也可以激发学生学习兴趣，调动学生的学习积极性，同时也起到加深理解公式的作用．练习三第（l）题实际是课本例4，此题是与平方差公式的综合运用，难度较大．通过给出解题步骤，让学生进行判断，使难度降低，学生易于理解，教师要注意引导学生分析这类题的结构特征，掌握解题方法．通过完成第（2）题使学生进一步理解与之间的相等关系，同时加深理解代数中“a”具有的广泛意义．

　　练习四

　　运用乘法公式计算：

《完全平方公式》教案4

　　一、内容简介

　　本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。

　　关键信息：

　　1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。

　　2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法。

　　二、学习者分析：

　　1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能：

　　①同类项的定义。

　　②合并同类项法则

　　③多项式乘以多项式法则。

　　2、学习者对即将学习的内容已经具备的水平：

　　在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。这节课的目的就是让学生从等号的左边形式和右边形式之间的关系，总结出公式的应用方法。

　　三、教学/学习目标及其对应的课程标准：

　　（一）教学目标：

　　1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推力能力。

　　2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的'计算。

　　（二）知识与技能：经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识有理数、实数、代数式、防城、不等式、函数；掌握必要的运算，（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用代数式、防城、不等式、函数等进行描述。

　　（四）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异；通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。

　　（五）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益。

　　四、教育理念和教学方式：

　　1、教师是学生学习的组织者、促进者、合作者：学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的身体去亲自经历，用自己的心灵去亲自感悟。

　　教学是师生交往、积极互动、共同发展的过程。当学生迷路的时候，教师不轻易告诉方向，而是引导他怎样去辨明方向；当学生登山畏惧了的时候，教师不是拖着他走，而是唤起他内在的精神动力，鼓励他不断向上攀登。

　　2、采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式展开教学。

　　3、教学评价方式：

　　（1）通过课堂观察，关注学生在观察、总结、训练等活动中的主动参与程度与合作交流意识，及时给与鼓励、强化、指导和矫正。

　　（2）通过判断和举例，给学生更多机会，在自然放松的状态下，揭示思维过程和反馈知识与技能的掌握情况，使老师可以及时诊断学情，调查教学。

　　（3）通过课后访谈和作业分析，及时查漏补缺，确保达到预期的教学效果。

　　五、教学媒体：多媒体

　　六、教学和活动过程：

　　教学过程设计如下：

　　〈一〉、提出问题

　　[引入]同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，通过运算下列四个小题，你能总结出结果与多项式中两个单项式的关系吗？

　　(2m+3n)2=xxxxxxxxx，(-2m-3n)2=xxxxxx，(2m-3n)2=xxxxxxxxx，(-2m+3n)2=xxxxxxxxx。

　　〈二〉、分析问题

　　1、[学生回答]分组交流、讨论

　　(2m+3n)2= 4m2+12mn+9n2，(-2m-3n)2= 4m2+12mn+9n2，(2m-3n)2= 4m2-12mn+9n2，(-2m+3n)2= 4m2-12mn+9n2。

　　（1）原式的特点。

　　（2）结果的项数特点。

　　（3）三项系数的特点（特别是符号的特点）。

　　（4）三项与原多项式中两个单项式的关系。

　　2、[学生回答] 总结完全平方公式的。语言描述：

　　两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍；

　　两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍。

　　3、[学生回答]完全平方公式的数学表达式：

　　(a+b)2=a2+2ab+b2；

　　(a-b)2=a2-2ab+b2.

　　〈三〉、运用公式，解决问题

　　1、口答：（抢答形式，活跃课堂气氛，激发学生的学习积极性）

　　(m+n)2=xxxxxxxxx, (m-n)2=xxxxxxxxx,(-m+n)2=xxxxxxxxx, (-m-n)2=xxxxxx,(a+3)2=xxxxxx, (-c+5)2=xxxxxx,(-7-a)2=xxxxxx, (0.5-a)2=xxxxxx.

　　2、判断：

　　（)① (a-2b）2= a2-2ab+b2

　　（)② (2m+n）2= 2m2+4mn+n2

　　（)③ (-n-3m）2= n2-6mn+9m2

　　（)④ (5a+0.2b）2= 25a2+5ab+0.4b2

　　（)⑤ (5a-0.2b）2= 5a2-5ab+0.04b2

　　（)⑥ (-a-2b）2=(a+2b)2

　　（)⑦ (2a-4b）2=(4a-2b)2

　　（)⑧ (-5m+n）2=(-n+5m)2

　　3、小试牛刀

　　① (x+y)2 =xxxxxx;② (-y-x)2 =xxxxxxxxx;

　　③ (2x+3)2 =xxxxxxxxx_;④ (3a-2)2 =xxxxxxxxx;

　　⑤ (2x+3y)2 =xxxxxxxxx;⑥ (4x-5y)2 =xxxxxx;

　　⑦ (0.5m+n)2 =___________;⑧ (a-0.6b)2 =xxxxxxxxx_.

　　〈四〉、[学生小结]

　　你认为完全平方公式在应用过程中，需要注意那些问题？

　　（1）公式右边共有3项。

　　（2）两个平方项符号永远为正。

　　（3）中间项的符号由等号左边的两项符号是否相同决定。

　　（4）中间项是等号左边两项乘积的2倍。

　　〈五〉、冒险岛：

　　（1）（-3a+2b）2=xxxxxxxxxxxxxxxxxx__

　　（2）(-7-2m) 2 =xxxxxxxxxxxxxxxxxx____

　　（3）(-0.5m+2n) 2=xxxxxxxxxxxxxxxxxx_

　　（4）(3/5a-1/2b) 2=xxxxxxxxxxxxxxxxxx__

　　（5）(mn+3) 2=xxxxxxxxxxxxxxxxxx____

　　（6）(a2b-0.2) 2=xxxxxxxxxxxxxxxxxx___

　　（7）(2xy2-3x2y) 2=xxxxxxxxxxxxxxxxxx_

　　（8）(2n3-3m3) 2=xxxxxxxxxxxxxxxxxx__

　　〈六〉、学生自我评价

　　[小结]通过本节课的学习，你有什么收获和感悟？

　　本节课，我们自己通过计算、分析结果，总结出了完全平方公式。在知识探索的过程中，同学们积极思考，大胆探索，团结协作共同取得了进步。

　　〈七〉[作业] P34随堂练习P36习题

　　七、课后反思

　　本节课虽然算不上课本中的难点，但在整式一章中是个重点。它是多项式乘法特殊形式下的一种简便运算。学生需要熟练掌握公式两种形式的使用方法，以提高运算速度。授课过程中，应注重让学生总结公式的等号两边的特点，让学生用语言表达公式的内容，让学生说明运用公式过程中容易出现的问题和特别注意的细节。然后再通过逐层深入的练习，巩固完全平方公式两种形式的应用。

《完全平方公式》教案5

　　学习任务

　　1、了解完全平方公式的特征，会用完全平方公式进行因式分解。

　　2、通过整式乘法逆向得出因式分解方法的过程，发展学生逆向思维能力和推理能力。

　　3、通过猜想、观察、讨论、归纳等活动，培养学生观察能力，实践能力和创新能力。

　　学习建议教学重点：

　　运用完全平方公式分解因式。

　　教学难点：

　　掌握完全平方公式的特点。

　　教学资源

　　使用电脑、投影仪。

　　学习过程学习要求

　　自学准备与知识导学：

　　1、计算下列各式：

　　⑴(a+4)2=xxxxxxxxx___⑵(a-4)2=xxxxxxxxx___

　　⑶(2x+1)2=xxxxxxxxx___⑷(2x-1)2=xxxxxxxxx___

　　下面请你根据上面的等式填空：

　　⑴a2+8a+16=xxxxxxxxx_⑵a2-8a+16=xxxxxxxxx_

　　⑶4x2+4x+1=xxxxxxxxx_⑷4x2-4x+1=xxxxxxxxx_

　　问题：对比以上两题，你有什么发现？

　　2、把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来就得到xxxxxxxxx___和xxxxxxxxx___，这两个等式就是因式分解中的完全平方公式。它们有什么特征？

　　若用△代表a，○代表b，两式可表示为△2+2△×○+○2=(△+○)2，△2-2△×○+○2=(△-○)2.

　　3、a2-4a-4符合公式左边的特征吗？为什么？

　　4、填空：a2+6a+9符合吗？______相当于a，______相当于b.

　　a2+6a+9=a2+2()()+()2=()2

　　a2-6a+9=a2-2()()+()2=()2

　　可以把形如a2+2ab+b2与a2-2ab+b2的多项式通过完全平方公式进行因式分解。

　　学习交流与问题研讨：

　　1、例题一(准备好，跟着老师一起做！)

　　把下列各式分解因式：⑴x2+10x+25⑵4a2-36ab+81b2

　　2、例题二(有困难，大家一起讨论吧！)

　　把下列各式分解因式：⑴16a4+8a2+1⑵(m+n)2-4(m+n)+4

　　3、变式训练：若把16a4+8a2+1变形为16a4-8a2+1会怎么样呢？

　　4、运用平方差公式、完全平方公式，把一个多项式分解因式的方法叫做运用公式法。分析：重点是指出什么相当于公式中的a、b，并适当的改写为公式的形式。

　　分析：许多情况下，不一定能直接使用公式，需要经过适当的组合，变形成公式的'形式。

　　强调：分解因式必须分解到每一个因式都不能再分为止。

　　练习检测与拓展延伸：

　　1、巩固练习

　　⑴下列能直接用完全平方公式分解的是()

　　A、x2+2xy-y2B、-x2+2xy+y2C、x2+xy+y2D、x2-xy+y2

　　⑵分解因式：-a2+2ab-b2=_________，-a2-2ab-b2=_________.

　　⑶课本P75练一练1.2.

　　2、提升训练

　　⑴简便计算：20042-4008×20xx+20052

　　⑵已知a2-2a+b2+4b+5=0，求(a+b)20xx的值。

　　⑶若把a2+6a+9误写为a2+6a+9-1即a2+6a+8如何分解？

　　3、当堂测试

　　补充习题P42-431.2.3.4.

　　分析：许多情况下，不一定能直接使用公式，需要经过适当的组合，变形成公式的形式。

　　课后反思或经验总结：

　　1、本节课是在学生已经了解因式分解的意义，掌握了提公因式法、平方差公式的基础上进行教学的，是运用类比的方法，引导学生借助上一节课学习平方差公式分解因式的经验，探索因式分解的完全平方公式法，即先观察公式的特点，再直接根据公式因式分解。

《完全平方公式》教案6

　　总体说明：

　　完全平方公式则是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结。同时，完全平方公式的推导是初中数学中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过完全平方公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。而且完全平方公式是后继学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习分解因式、分式运算、解一元二次方程以及二次函数的恒等变形的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的作用。因此学好完全平方公式对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义。

　　本节是北师大版七年级数学下册第一章《整式的运算》的第8小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历探索与推导完全平方公式的过程，培养学生的符号感与推理能力，让学生进一步体会数形结合的思想在数学中的作用。

　　一、学生学情分析

　　学生的技能基础：学生通过对本章前几节课的学习，已经学习了整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法、平方差公式，这些基础知识的学习为本节课的学习奠定了基础。

　　学生活动经验基础：在平方差公式一节的学习中，学生已经经历了探索和应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力；同时在相关知识的学习过程中，学生经历了很多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识以及与同伴合作交流的能力。

　　二、教学目标

　　知识与技能：

　　（1）让学生会推导完全平方公式，并能进行简单的应用。

　　（2）了解完全平方公式的几何背景。

　　数学能力：

　　（1）由学生经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感与推理能力。

　　（2）发展学生的数形结合的数学思想。

　　情感与态度：

　　将学生头脑中的前概念暴露出来进行分析，避免形成教学上的“相异构想”。

　　三、教学重难点

　　教学重点：1、完全平方公式的推导；

　　2、完全平方公式的应用；

　　教学难点：1、消除学生头脑中的前概念，避免形成“相异构想”；

　　2、完全平方公式结构的认知及正确应用。

　　四、教学设计分析

　　本节课设计了十一个教学环节：学生练习、暴露问题——验证——推广到一般情况，形成公式——数形结合——进一步拓广——总结口诀——公式应用——学生反馈——学生PK——学生反思——巩固练习。

　　第一环节：学生练习、暴露问题

　　活动内容：计算：（a+2）2

　　设想学生的做法有以下几种可能：

　　①（a+2）2=a2+22

　　②（a+2）2=a2+2a+22

　　③正确做法；

　　针对这几种结果都将a=1代入计算，得出①②都是错误的，但③的做法是否一定正确呢？怎么验证？

　　活动目的：在很多学生的头脑中，认为两数和的完全平方与两数的平方和等同，即：

　　（a+2）2=a2+22，如果不将这种定式思维*，就很难建立起一个正确的概念；这一环节的目的就是让学生的这种错误或其它错误充分暴露出来，并让学生充分认识到自己原有的定式思维是错误的，为下一步构建新的思维模式埋下伏笔。

　　第二环节：验证（a+2）2=a2–4a+22

　　活动内容：（a+2）2=（a+2）（a+2）=a2+2a+2a+22

　　活动目的：在前一环节已经打破了学生的原有的思维定式的基础上，给学生建立正确的思维方法，避免形成“相异构想”。

　　第三环节：推广到一般情况，形成公式

　　活动内容：（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

　　活动目的：让学生经历从特殊到一般的探究过程，体验到发现的快乐。

　　第四环节：数形结合

　　活动内容：设问：在多项式的乘法中，很多公式都都可以用几何图形进行解释，那么完全平方公式怎样用几何图形解释呢？

　　展示动画，用几何图形诠释完全平方公式的几何意义。

　　学生思考：还有没有其它的方法来诠释完全平方公式？（课后思考）

　　活动目的：让学生进一步认识到数与形都不是孤立存在的，数与形是可以有机地结合在一起，从而发展学生的数形结合的数学思想。

　　第五环节：进一步拓广

　　活动内容：推导两数差的完全平方公式：（a–b）2=a2–2ab+b2

　　方法1：（a–b）2=（a–b）（a–b）=a2–ab–ab+b2=a2–2ab+b2

　　方法2：（a–b）2=[a+(–b)]2=a2+2a(–b)+(–b)2=a2–2ab+b2

　　活动目的：让学生经历由两数和的完全平方公式拓广到两数差的完全平方公式的过程，体会到符号差异带来的'结果差异，由第二种推导方法体会到两数差的完全平方公式是两数和的完全平方公式的应用。

　　第六环节：总结口诀、认识特征

　　活动内容：比较两个公式的共同点与不同点：（a+b）2=a2+2ab+b2

　　（a–b）2=a2–2ab+b2

　　特征：①左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个符号不同；右边都是二次三项式，其中第一、三项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的两倍，两者也仅一个符号不同；

　　②公式中的a、b可以是任意一个代数式（数、字母、单项式、多项式）

　　口诀：首平方，尾平方，首尾相乘的两倍在中央。

　　活动目的：认识完全平方公式的特征，总结出完全平方公式的口诀，便于学生理解与记忆，避免学生在应用该公式中出现错误。

　　第七环节：公式应用

　　活动内容：例：计算：①（2x–3）2；②（4x+）2

　　解：①（2x–3）2=（2x）2–2(2x)3+32=4x2–12x+9

　　②（4x+）2=(4x)2+2(4x)+2=16x2+2xy+

　　活动目的：在前几个环节中，学生对完全平方公式已经有了感性认识，通过本环节的讲解以及下一环节的练习，使学生逐步经历认识——模仿——再认识。从而上升到理性认识的阶段。

　　第八环节：随堂练习

　　活动内容：计算：①；②；③（n+1）2–n2

　　活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的理解是否到位，完全平方公式的应用是否得当，以便教师能及时地进行查缺补漏。

　　第九环节：学生PK

　　活动内容：每个学生各出五道完全平方公式的计算题给自己的同桌解答，比一比谁的准确性率高，速度快。

　　活动目的：活跃课堂气氛，激起学生的好胜心，进一步巩固学生对完全平方公式的理解与应用。

　　第十环节：学生反思

　　活动内容：通过今天这堂课的学习，你有哪些收获？

　　收获1：认识了完全平方公式，并能简单应用；

　　收获2：了解了两数和与两数差的完全平方公式之间的差异；

　　收获3：感受到数形结合的数学思想在数学中的作用。

　　活动目的：通过对一堂课的归纳与总结，巩固学生对完全平方公式的认识，体会数学思想的精妙。

　　第十一环节：布置作业：

　　课本P43习题1.13

《完全平方公式》教案7

　　学生活动：采取比赛的方式把学生分成四组，每组完成一题，看哪一组完成得快而且准确，每组各派一个学生板演本组题目．

　　【教法说明】这样做的目的.是训练学生的快速反应能力及综合运用知识的能力，同时也激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛．

　　（四）总结、扩展

　　这节课我们学习了乘法公式中的完全平方公式．

　　引导学生举例说明公式的结构特征，公式中字母含义和运用公式时应该注意的问题．

　　八、布置作业

　　P133 1，2．（3）（4）．

　　参考答案

　　略．

《完全平方公式》教案8

　　一、教学目标

　　1．理解完全平方公式的意义，准确掌握两个公式的结构特征．

　　2．熟练运用公式进行计算．

　　3．通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的能力．

　　4．培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想．

　　5．渗透数学公式的结构美、和谐美．

　　二、学法引导

　　1．教学方法：尝试指导法、讲练结合法．

　　2．学生学法：本节学习了乘法公式中的完全平方，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个“符号”不同．相乘的结果是两数的平方和，加上（或减去）两数的积的2倍，两者也仅差一个“符号”不同，运用完全平方公式计算时，要注意：

　　（1）切勿把此公式与公式混淆，而随意写成．

　　（2）切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉．

　　（3）计算时，要先观察题目是否符合公式的条件．若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算；若不能变为符合条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．

　　三、重点·难点及解决办法

　　（一）重点

　　掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算．

　　（二）难点

　　综合运用平方差公式与完全平方公式进行计算．

　　（三）解决办法

　　加强对公式结构特征的深入理解，在反复练习中掌握公式的应用．

　　四、课时安排

　　一课时．

　　五、教具学具准备

　　投影仪或电脑、自制胶片．

　　六、师生互动活动设计

　　1．让学生自编几道符合平方差公式结构的计算题，目的是辨认题目的结构特征．

　　2．引入完全平方公式，让学生用文字概括公式的内容，培养抽象的数字思维能力．

　　3．举例分析如何正确使用完全平方公式，师生共练完成本课时重点内容．

　　4．适时练习并总结，从实践到理论再回到实践，以指导今后的解题．

　　七、教学步骤

　　（一）明确目标

　　本节课重点学习完全平方公式及其应用．

　　（二）整体感知

　　掌握好完全平方公式的关键在于能正确识别符合公式特征的结构，同时还要注意公式中2ab中2的问题，在解题过程中应多观察、多思考、多揣摩规律．

　　（三）教学过程

　　1．计算导入；求得公式

　　（1）叙述平方差公式的内容并用字母表示；

　　（2）用简便方法计算

　　①103×97

　　②103 × 103

　　（3）请同学们自编一个符合平方差公式结构的`计算题，并算出结果．

　　学生活动：编题、解题，然后两至三个学生说出题目和结果．

　　要想用好公式，关键在于辨认题目的结构特征，正确使用公式，这节课我们继续学习“乘

　　法公式”．

　　引例：计算，学生活动：计算，，两名学生板演，其他学生在练习本上完成，然后说出答案，得出公式．

　　或合并为：

　　教师引导学生用文字概括公式．

　　方法：由学生概括，教师给予肯定、否定或更正，同时板书．

　　两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．

　　【教法说明】

　　①复习平方差公式，主要是引起回忆，巩固公式；编题在于提高兴趣．

　　②有了平方差公式的推导过程，学生基本建立起了一些特殊多项式乘法的认识方法，因此推导完全平方公式可以由计算直接得出．

　　2．结合图形，理解公式

　　根据图形完成下列问题：

　　如图：A、B两图均为正方形，（1）图A中正方形的面积为xxxxxxxxx，（用代数式表示）

　　图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为xxxxxxxxx________。

　　（2）图B中，正方形的面积为xxxxxxxxx_____，Ⅲ的面积为xxxxxx，Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积和为xxxxxxxxx，用B、Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积表示Ⅲ的面积xxxxxxxxx__。

　　分别得出结论：

　　学生活动：在教师引导下回答问题．

　　【教法说明】利用图形讲解，增强学生对公式的直观理解，以便更好地掌握公式，同时也培养学生数形结合的数学思想。

　　3．探索新知，讲授新课

　　（1）引例：计算

　　教师讲解：在中，把x看成a，把2y看成b，在中把2x看成a，把3y看成b，则、，就可用完全平方公式来计算，即

　　【教法说明】引例的目的在于使学生进一步理解公式的结构，为运用公式打好基础．

　　（2）例1运用完全平方公式计算：

　　① 　　② 　　③

　　学生活动：学生独立在练习本上尝试解题，3个学生板演．

　　【教法说明】让学生先模仿公式解题，学生可能会出现一些问题，这也正是学生对公式理解、应用和熟练程度上存在的需要解决的问题，反馈后要紧扣公式，重点讲解，达到解决问题的目的，关于例呈中（3）的计算，可对照公式直接计算，也可变形成，然后再进行计算，同时也可训练学生灵活运用学过的知识的能力．

　　4．尝试反馈，巩固知识

　　练习一

　　运用完全平方公式计算：

《完全平方公式》教案9

　　教学目标

　　1、使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；

　　2、理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力。

　　3、进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力。

　　4、通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。

　　教学重点和难点

　　重点：运用完全平方式分解因式。

　　难点：灵活运用完全平方公式公解因式。

　　教学过程设计

　　一、复习

　　1、问：什么叫把一个多项式因式分解？我们已经学习了哪些因式分解的方法？

　　答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解。我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法。

　　2、把下列各式分解因式：

　　(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4。

　　解(1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)

　　（2）16m4－n4=(4m2)2－(n2)2

　　=(4m2+n2)(4m2－n2)

　　=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n)。

　　问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？

　　答：有完全平方公式。

　　请写出完全平方公式。

　　完全平方公式是：

　　(a+b)2=a2+2ab+b2，(a－b)2=a2－2ab+b2。

　　这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解。

　　二、新课

　　和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到

　　a2+2ab+b2=(a+b)2；a2－2ab+b2=(a－b)2。

　　这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式。运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式。

　　问：具备什么特征的多项是完全平方式？

　　答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子（或数）的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子（或数）的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式。

　　问：下列多项式是否为完全平方式？为什么？

　　(1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；

　　(3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1。

　　答：(1)式是完全平方式。因为x2与9分别是x的.平方与3的平方，6x=2·x·3，所以

　　x2+6x+9=(x+3) 。

　　（2）不是完全平方式。因为第三部分必须是2xy。

　　（3)是完全平方式。25x =(5x），1=1，10x =2·5x ·1，所以

　　25x－10x +1=(5x－1) 。

　　（4）不是完全平方式。因为缺第三部分。

　　请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=？b=？2ab=？

　　答：完全平方公式为：

　　其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y。

　　例1把25x4+10x2+1分解因式。

　　分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“25x4”是(5x2)的平方，第三项“1”是1的平方，第二项“10x2”是5x2与1的积的2倍。所以多项式25x4+10x2+1是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式。

　　解25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2。

　　例2把1－m+分解因式。

　　问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式？有几种解法？

　　答：这个多项式由三部分组成，第一项“1”是1的平方，第三项“ ”是的平方，第二项“－m”是1与m/4的积的2倍的相反数，因此这个多项式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式。

　　解法1 1－m+ =1－2·1· +（）2=（1－）2。

　　解法2先提出，则

　　1－m+ = (16－8m+m2)

　　= (42－2·4·m+m2)

　　= (4－m)2。

　　三、课堂练习（投影）

　　1、填空：

　　(1)x2－10x+（）2=（）2；

　　(2)9x2+（）+4y2=（）2；

　　(3)1－（）+m2/9=（）2。

　　2、下列各多项式是不是完全平方式？如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多

　　项式改变为完全平方式。

　　(1)x2－2x+4；(2)9x2+4x+1；(3)a2－4ab+4b2；

　　(4)9m2+12m+4；(5)1－a+a2/4。

　　3、把下列各式分解因式：

　　(1)a2－24a+144；(2)4a2b2+4ab+1；

　　(3)19x2+2xy+9y2；(4)14a2－ab+b2。

　　答案：

　　1、(1)25，(x－5) 2；(2)12xy，(3x+2y) 2；(3)2m/3，（1－m3）2。

　　2、(1)不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x2－2x+1，它是完全平方式。

　　（2）不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x2+6x+1，它是完全平方式。

　　（3）是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2。

　　（4）是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2。

　　（5）是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2。

　　3、(1)(a－12) 2；(2)(2ab+1) 2；

　　（3）(13x+3y) 2；(4)（12a－b）2。

　　四、小结

　　运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：

　　1、首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解。有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解。

　　2、在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是负号，则用公式a2－2ab+b2=(a－b) 2。

　　五、作业

　　把下列各式分解因式：

　　1、(1)a2+8a+16；(2)1－4t+4t2；

　　(3)m2－14m+49；(4)y2+y+1/4。

　　2、(1)25m2－80m+64；(2)4a2+36a+81；

　　(3)4p2－20pq+25q2；(4)16－8xy+x2y2；

　　(5)a2b2－4ab+4；(6)25a4－40a2b2+16b4。

　　3、(1)m2n－2mn+1；(2)7am+1－14am+7am－1；

　　4、(1) x－4x；(2)a5+a4+ a3。

　　答案：

　　1、(1)(a+4)2；(2)(1－2t)2；

　　（3）(m－7) 2；(4)（y+12）2。

　　2、(1)(5m－8) 2；(2)(2a+9) 2；

　　（3）(2p－5q) 2；(4)(4－xy) 2；

　　（5）(ab－2) 2；(6)(5a2－4b2) 2。

　　3、(1)(mn－1) 2；(2)7am－1(a－1) 2。

　　4、(1) x(x+4)(x－4)；(2)14a3 (2a+1) 2。

　　课堂教学设计说明

　　1、利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质。

　　2、本节课要求学生掌握完全平方公式的特点和灵活运用公式把多项式进行因式分解的方法。在教学设计中安排了形式多样的课堂练习，让学生从不同侧面理解完全平方公式的特点。例1和例2的讲解可以在老师的引导下，师生共同分析和解答，使学生当堂能够掌握运用平方公式进行完全因式分解的方法。

《完全平方公式》教案10

　　某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25？，另一件亏损25？，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？

　　分析：售价=进价+利润

　　售价=（1+利润率）×进价

　　练习（1）随州某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元。其中一台盈20%，另一台亏损20%。这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？

　　（2）某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%。这次交易中的盈亏情况？

　　（3）某商场把进价为1980元的'商品按标价的八折出售，仍获利10%，则该商品的标价为元。

　　注：标价×n/10=进（1+率）

　　（4）2、我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品在20xx年涨价30%后，20xx降价70%至a元，则这种药品在20xx年涨价前价格为元。

　　四、小结

　　通过本节课的学习你有哪些收获？你还有哪些疑惑？

　　亏损还是盈利对比售价与进价的关系才能加以判断

　　小组研究解决提出质疑

　　优生展示讲解质疑

　　五、作业布置：

　　板书设计一元一次方程的应用-----盈亏问题

　　相关的关系式：例题

　　课后反思售价、进价、利润、利润率、标价、折扣数这几个量之间的关系一定清楚，之后才能灵活运用，通过变式练习加强记忆提高能力。

《完全平方公式》教案11

　　1．能根据多项式的乘法推导出完全平方公式；（重点）

　　2．理解并掌握完全平方公式，并能进行计算．（重点、难点）

　　一、情境导入

　　计算：

　　（1）(x＋1)2; (2)(x－1)2；

　　（3）(a＋b)2; (4)(a－b)2.

　　由上述计算，你发现了什么结论？

　　二、合作探究

　　探究点：完全平方公式

　　【类型一】直接运用完全平方公式进行计算

　　利用完全平方公式计算：

　　（1）(5－a)2；

　　（2）（－3－4n）2；

　　（3）（－3a＋b）2.

　　解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．

　　解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；

　　（2）（－3－4n）2＝92＋24n＋16n2；

　　（3）（－3a＋b）2＝9a2－6ab＋b2.

　　方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第12题

　　【类型二】构造完全平方式

　　如果36x2＋（＋1）x＋252是一个完全平方式，求的值．

　　解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定的值．

　　解：∵36x2＋（＋1）x＋252＝(6x)2＋（＋1）x＋(5)2，∴（＋1）x＝±26x5，∴＋1＝±60，∴＝59或－61.

　　方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

　　【类型三】运用完全平方公式进行简便计算

　　利用完全平方公式计算：

　　(1)992; (2)1022.

　　解析：(1)把99写成(100－1)的形式，然后利用完全平方公式展开计算．(2)可把102分成100＋2，然后根据完全平方公式计算．

　　解：(1)992＝(100－1)2＝1002－2×100＋12＝10000－200＋1＝9801；

　　(2)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋4＝10404.

　　方法总结：利用完全平方公式计算一个数的平方时，先把这个数写成整十或整百的数与另一个数的和或差，然后根据完全平方公式展开计算．

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第13题

　　【类型四】灵活运用完全平方公式求代数式的值

　　若（x＋）2＝9，且（x－）2＝1.

　　（1）求1x2＋12的值；

　　（2）求(x2＋1)(2＋1)的值．

　　解析：(1)先去括号，再整体代入即可求出答案；(2)先变形，再整体代入，即可求出答案．

　　解：（1)∵(x＋）2＝9，（x－）2＝1，∴x2＋2x＋2＝9，x2－2x＋2＝1，4x＝9－1＝8，∴x＝2，∴1x2＋12＝x2＋2x22＝（x＋）2－2xx22＝9－2×222＝54；

　　（2)∵(x＋）2＝9，x＝2，∴（x2＋1)(2＋1)＝x22＋2＋x2＋1＝x22＋(x＋）2－2x＋1＝22＋9－2×2＋1＝10.

　　方法总结：所求的展开式中都含有x或x＋时，我们可以把它们看作一个整体代入到需要求值的代数式中，整体求解．

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题

　　【类型五】完全平方公式的`几何背景

　　我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释（a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是(）

　　A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)

　　B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2

　　C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2

　　D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

　　解析：空白部分的面积为(a－b)2，还可以表示为a2－2ab＋b2，所以，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.故选C.

　　方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

　　【类型六】与完全平方公式有关的探究问题

　　下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a＋b)n(n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a＋b)6展开式中所缺的系数．

　　(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.

　　解析：由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3可得(a＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和，由此可得(a＋b)4的各项系数依次为1.4.6.4.1；(a＋b)5的各项系数依次为1.5.10.10.5.1；因此(a＋b)6的系数分别为1.6.15.20.15.6.1，故填20.

　　方法总结：对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．

　　变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题

　　三、板书设计

　　1．完全平方公式

　　两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍．

　　(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.

　　2．完全平方公式的运用

　　本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2.为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央．教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆。

《完全平方公式》教案12

　　课题教案：

　　完全平方公式

　　学科：

　　数学

　　年级：

　　七年级

　　1内容本节课的主题：

　　通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。

　　1.1以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。使学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。

　　1.2用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学生的数学思维。

　　2教学目标

　　2.1知识目标：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；了解(a+b)2=a2+2ab+b2的几何背景。

　　2.2技能目标：经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程，进一步培养学生归纳总结的能力，并给公式的应用打下坚实的基础。

　　2.3情感与态度目标：通过观察、实验、归纳、类比、推断获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性。

　　3教学重点

　　完全平方公式的准确应用。

　　4教学难点

　　掌握公式中字母表达式的意义及灵活运用公式进行计算。

　　5教育理念和教学方式

　　5.1教学是师生交往、积极互动、共同发展的过程。教师是学生学习的组织者、促进者、合作者：本节的教学过程，要为学生的动手实践，自主探索与合作交流提供机会，搭建平台；尊重和自己意见不一致的学生，赞赏每一位学生的结论和对自己的超越，尊重学生的个人感受和独特见解；帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值，通过恰当的.教学方式引导学生学会自我调适，自我选择。

　　学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的身体去亲自经历，用自己的心灵去亲自感悟。

　　5.2采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式展开教学。充分利用动手实践的机会，尽可能增加教学过程的趣味性，强调学生的动手操作和主动参与，通过丰富多彩的集体讨论、小组活动，以合作学习促进自主探究。

　　6具体教学过程设计如下：

　　6.1提出问题:[引入]同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗？

　　(x+3)2=，(x-3)2=，这些式子的左边和右边有什么规律？再做几个试一试:

　　(2m+3n)2=，(2m-3n)2=

　　6.2分析问题

　　6.2.1[学生回答]分组交流、讨论多项式的结构特点

　　（1）原式的特点。两数和的平方。

　　（2）结果的项数特点。等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍

　　（3）三项系数的特点（特别是符号的特点）。

　　（4）三项与原多项式中两个单项式的关系。