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函数的单调性教案

时间：2024-10-23 07:42:51 教案我要投稿

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函数的单调性教案

　　作为一名教职工，就不得不需要编写教案，教案是教学活动的依据，有着重要的地位。那么教案应该怎么写才合适呢？下面是小编精心整理的函数的单调性教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

函数的单调性教案

　　函数的单调性是函数的重要性质之一, 在解题时若能合理巧妙地加以运用, 定会给你带来快捷的解题思路.本文举例谈谈函数的单调性在解题中的多方面应用.

　　一、用于比较两个数的大小

　　例1 比较 log2 (x+1) 与 log2 (2x+3) 的大小.

　　分析:从题设的两个对数式, 便联想起 y=log2u在 (0, +∞) 上是单调函数, 因此只要比较两个真数的大小, 原题就可获解.

　　解:由

　　{x+1＞02x+3＞0

　　解得 x>-1.

　　当 x>-1时, 有0

　　又因为函数 y=log2u 在 (0, +∞) 上单调递增, 所以 log2 (x+1)

　　二、用于证明不等式

　　例2 已知 a、b、c∈R+, ca-b, 求证cc+1＜aa+1+bb+1.

　　分析:观察题中的cc+1aa+1bb+1的特征, 自然会考虑函数f(x)=xx+1.然后利用此函数在 (0, +∞) 上是增函数, 可获结论.

　　证明:构造函数f(x)=xx+1=1-1x+1, 由此可知 f (x) 在 (0, +∞) 上是单调递增函数.

　　又由 c　　即cc+1＜a+b(a+b)+1=a(a+b)+1+b(a+b)+1＜aa+1+bb+1

　　故cc+1＜aa+1+bb+1.

　　三、用于求函数的最值

　　例3 求函数f(x)=x+1-x-3的最大值.

　　解∶由f(x)=x+1-x-3=4x+1+x-3

　　知函数f(x)=x+1-x-3在其定义域[3, +∞) 上是减函数, 所以函数f(x)=x+1-x-3的最大值是 f (3) =2.

　　四、用于求解方程

　　例4 解方程2x+3x+6x=7x.

　　解:原方程可变形为

　　(27)x+(37)x+(67)x=1.

　　设f(x)=(27)x+(37)x+(67)x,因为0＜273767＜1,所以f(x)=(27)x+(37)x+(67)x在R内单调递减.

　　而f(2)=(27)2+(37)2+(67)2=4+9+3649=1

　　所以要使f(x)=(27)x+(37)x+(67)x=1=f(2), 有且只有 x=2, 所以原方程的解为 x=2.

　　五、用于求不等式的解集

　　例5 设 f (x) 是定义在 (0, +∞) 上的增函数, 且f(xy)=f(x)-f(y)f(3)=1, 求解不等式f(x)-f(1x-3)＞2.

　　解:由于f(xy)=f(x)-f(y),所以f(x)-f(1x-3)=f(x2-3x).

　　令 x=9, y=3, 则

　　f (3) =f (9) -f (3) ,故 f (9) =2f (3) =2, 原不等式即为

　　f (x2-3x) >f (9) .

　　由于 f (x) 是定义在 (0, +∞) 上的增函数, 故原不等式等价于

　　{x＞0x-3＞0x2-3x＞9.

　　解得x＞3+352.

　　所以原不等式解集为{x|x＞3+352}.

　　六、用于求参数的取值范围

　　例6 设函数

　　f(x)=lg1+2x+3x++(n-1)x+nxan(a∈Rn∈Ν*n≥2).若当 x∈ (-∞, 1]时, f (x) 有意义, 求 a 的取值范围.

　　解:由 f (x) 有意义, 则

　　1+2x+3x+…+ (n-1) x+nxa>0,于是a＞-[(1n)x+(2n)x+(3n)x++(n-1n)x](n∈Ν*n≥2)在 x∈ (-∞, 1]上恒成立.

　　设g(x)=-[(1n)x+(2n)x+(3n)x++(n-1n)x],由-(mn)x(m=123n-1)在 x∈ (-∞, 1]上均为增函数, 知 g (x) 在 (-∞, 1]上为增函数.

　　所以g(x)≤g(1)=-(1n+2n+3n++n-1n)=1-n2.

　　所以当a＞1-n2时, a>g (x) 在 x∈ (-∞, 1]上恒成立, 从而得 a 的取值范围是(1-n2+∞).

　　七、用于求值

　　例7 实数 x, y 满足(x+x2+1)(y+y2+1)=1, 求 x+y 的值.

　　解:设f(t)=t+t2+1(t∈R), 则 f (t) 在R上单调递增.由题设等式可得

　　x+x2+1=1y+y2+1=-y+(-y)2+1

　　所以 f (x) =f (-y) ,即 x=-y, 故 x+y=0.

　　八、用于求值域

　　例8 求函数y=sinx2+2sinx(0＜x＜π)的值域.

　　解:令sinx2=t, 则f(t)=t+1tt∈(012].

　　又 f (t) 在(012]上单调递减, 则 f (t) 的最小值是f(12)=52.故函数y=sinx2+2sinx(0＜x＜π)的值域为[52+∞).

　　从上述各例不难看出, 运用函数的单调性解题, 关键在于合理的利用题设条件, 构造出相应的函数, 并将原问题进行等价转换, 通过函数的单调性使问题得以解决.

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